Tabella riassuntiva sulle disequazioni

Tipo

Forma canonica

Modalità risolutiva

Commenti

1° grado

ax + b > 0

x > -b/a   se a>o;

x<  -b/a   se a<0

Quando si cambia segno occorre cambiare il verso della disequazione.

2° grado

ax² + bx + c > 0

D>0

Discordi (il segno di a e del trinomio)

Intervallo Interno   

x₁<x<x₂

Concordi (il segno di a e del trinomio)

Intervallo Esterno  

 x<x₁ È x>x₂

Utilizzare sempre l'equazione associata per determinare x₁ e x₂

D=0

Il trinomio ha sempre il segno di a eccetto in 

x = - b/2a dove si annulla

Impara a riconoscere i casi elementari

D<0

Il trinomio ha sempre il segno di a e non si annulla mai

Equazione Impossibile,

Stesso Segno (di a e del trinomio)

Ogni valore (SºR)

Grado superiore

A(x)·B(x)·....>0

1.      Studio la positività di ogni fattore

2.      Riporto in uno specchietto gli intervalli di positività e determino il segno del prodotto

3.      Individuo gli intervalli che forniscono il segno richiesto e scrivo la soluzione

Il polinomio assegnato si deve  scomporre in fattori di I e II grado

Fratta

N(x)/D(x) >0

1.      Studio la positività di ogni termine

2.      Riporto in uno specchietto gli intervalli di positività e determino il segno del quoziente

3.      Individuo gli intervalli che forniscono il segno richiesto e scrivo la soluzione

Ricondursi sempre alla forma canonica

Sistemi

    A(x) > 0

í  B(x) < 0

    C(x) ³ 0

1.      Risolvo ogni disequazione così come è data

2.      Riporto in uno specchietto gli intervalli soluzione e determino l'intervallo comune

3.      Scrivo la soluzione

Risolvere ogni disequazione così come è  data e riportare tutte le soluzioni.

Riconoscere i casi elementari

Irrazionale

minore

  ÖA(x) < B(x)

    A(x) ³ 0              esistenza della radice

í  B(x) ³ 0              positività del polinomio

    A(x) < [B(x)]²     disequazione assegnata     

Equivale a risolvere il sistema a tre condizioni

maggiore

  ÖA(x) > B(x)   

    A(x) ³ 0                          B(x) ³ 0   

 í                          È       í

    B(x) < 0                           A(x) > [B(x)]²         

Equivale a risolvere l'unione di due sistemi

monomia basi uguali

  a^f(x) >  a^g(x)

f(x) > g(x) se a >1; f(x) < g(x) se 0<a<1

Applicare le proprietà delle potenze per giungere alla forma canonica.

Attenzione al cambio di verso.

basi deiverse

a ^x  >  n

x > log_a n se a>1; x < log_a n se o<a<1

log è logaritmo in base 10

ln è logaritmo in base e

a^f(x) >  b^g(x)

f(x) · log a > g(x) · log b

polinomia

b·a^k·f(x) +c· a^f(x)+ d > 0

pongo y=a^f(x) e risolvo rispetto a y quindi otterrò a^f(x)<y₁  e/o a^f(x)>y₂

opero come nei due casi precedenti

proprietà delle potenze

aⁿ·a^m=a^n+m

aⁿ/a^m=a^n-m             (aⁿ)^m=a^n·m

Logaritmiche

log_a x >  n

 x > aⁿ se a >1; f(x) < aⁿ se 0<a<1

log_af(x)>log_ag(x)

f(x) > g(x) se a >1; f(x) < g(x) se 0<a<1

b·[log_af(x)]^k+c·log_af(x)+d>0

pongo y= log_af(x) e risolvo rispetto a y quindi otterrò ....